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三次样条插值与hermite插值的比较

cac55 2024-10-12 02:29 22 浏览 0 评论

样条插值比较复杂,用得也最普遍,网上很多课件都没有完全说清楚,这里把本人认为说得比较清楚的一个课件转载如下:

样条插值产生的原因:

从这里看出,与hermite插值相比,样条插值要求二阶导数连续,而前者只要求一阶导数存在。二阶导数连续也就是曲率连续,表示这条曲线是光滑的。再看下面一个介绍:

这里S(x)的导数只有n-1个点,是因为第一个点没有左值(x0-0),最后一个点没有右值

(xn+0)。

这里是假设S的二阶导数是一条曲线,然后利用拉格朗日插值法得出的表达式。

上图中最后一个表达式将相关数值代入后即得到所求的三次多项式。

注意上面的讨论,先是在区间[xi,xi+1]上讨论,然后在[xi-1,xi]区间是讨论,也就是一共三个点参加了讨论:xi-1,xi,xi+1。讨论的过程是通过一阶导数连续而进行的。

接下来通过边界条件补充缺失的两个条件:

这个三弯矩方程用到了三个点的二阶导数。通过上图可以求出来。

举例如下:

最后与hermite插值相对比:

由上述过程可以看出,hermite插值多项式的求解过程只用到了两个点的数值及它们的导数值,而样条插值则用到了三个点的二阶导数值。

下图是两者程序实现:

简单总结两者的区别:

1:样条插值要求二阶导数连续,而hermite插值只需要一阶导数存在。

2:样条插值用到三个点,而hermite是两个。

3:样条函数计算一次得出两个三次多项式,而hermite则是一个。

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